Concepto de divisor

Dentro del contexto de la divisibilidad de números, un divisor es un número que puede dividir otro de manera exacta, ya que se encuentra contenido en ese número una cierta cantidad de veces.

A los divisores también se les denomina como submúltiplos y factores.

Ejemplo

Al dividir 30 entre 5, se concluye que el número 5 es un divisor de 30, ya que la división realizada es exacta.

Esto significa que el número 5 está exactamente contenido seis veces en el número 30. Se puede comprobar fácilmente multiplicando el divisor (5) por el cociente obtenido (6), lo que da como resultado el dividendo (30).

Comprobación

5 x 6 = 30

Los divisores de un número pueden clasificarse en dos formas:

• Divisores simples: Estos son números primos (números que son divisibles entre sí mismos y el uno).
• Divisores compuestos: Estos números no son primos, lo que significa que, además de ser divisibles por sí mismos y por la unidad, también pueden dividirse por otro factor.

Ejemplo

Los divisores totales del número 12 son:

1, 2, 3, 4, 6 y 12

Los divisores compuestos del 12 son:

4, 6 y 12

Los divisores simples del 12 son:

2 y 3

Para determinar la cantidad total de divisores de un número compuesto, se deben llevar a cabo los siguientes pasos:

Ejemplo

1. El número compuesto se descompone en sus factores primos.

2. Se escriben entre paréntesis los exponentes correspondientes a cada factor primo. Si un factor no es una potencia, se considera su exponente como 1.

54 = 21 x 33

Total de divisores = (1) (3)

3. A cada exponente se le suma 1.

Total de divisores = (1 + 1) (3 + 1)

Total de divisores = (2) (4)

4. Finalmente, se multiplican los valores obtenidos en el paso anterior, obteniendo así el total de divisores del número.

Total de divisores = 2 x 4 = 8

En el caso del numero 54, se puede verificar que tiene un total de 8 divisores, los cuales son:

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54

Para hallar todos los divisores simples y compuestos de un número, se realizan los siguientes pasos:

1. El número compuesto se descompone en sus factores primos.

1.1 Cuando uno de los factores no tiene exponente, se le asigna un exponente con valor a uno.

15925 = 52 x 72 x 131 

2. Se establece una tabla inicial que incluirá las potencias sucesivas de los factores primos. En la primera columna se asignan letras y en la segunda se registran los factores primos obtenidos en el paso previo.

2.1 En cada fila, se registra las potencias sucesivas correspondientes, utilizando como referencia el valor de la segunda columna.

2.2 Se calcula cada potencia y se reemplaza el resultado en su posición correspondiente dentro de la tabla.

3. Se crea una nueva tabla destinada a generar todos los divisores. En la primera columna se utilizan las letras generadas en la tabla anterior. En la primera fila, se coloca el número 1 seguido de los valores obtenidos en la fila A de la tabla previa.

3.1 Se selecciona el primer número de la fila B de la tabla inicial y se multiplica sucesivamente por cada uno de los números de la fila A en la tabla actual.

Operaciones

7 x 1 = 7

7 x 5 = 35

7 x 25 = 175

Asignación de valores

3.2 El proceso se repite, pero ahora con el siguiente valor de la fila B de la tabla inicial.

Operaciones

49 x 1 = 49

49 x 5 = 245

49 x 25 = 1225

Asignación de valores

4. Finalmente, se toma el valor de la fila C de la tabla inicial y se multiplica primero por todos los valores de la fila A, y luego por cada uno de los valores de las filas identificadas con la letra B de la tabla actual.

Operaciones

13 x 1 = 13


13 x 5 = 65


13 x 25 = 325


13 x 7 = 91


13 x 35 = 455


13 x 175 = 2275


13 x 49 = 637


13 x 245 = 3185


13 x 1225 = 15925

Asignación de valores

En el caso del número 15925, se observa que tiene un total de 18 divisores, los cuales son:

1, 5, 7, 13, 25, 35, 49, 65, 91, 175, 245, 325, 455, 637, 1225, 2275, 3185, 15925

Observaciones

-Al crear la tabla de divisores, es posible asociar cada letra con el valor correspondiente de la otra tabla, facilitando así la identificación del número por el cual se debe multiplicar.

-Cada nivel superior debe multiplicarse por todos los valores de los niveles inferiores. En este caso, todos los valores de la letra B se multiplican con los de la fila A, y los valores de la fila C se multiplican con todos los de las filas A y B.

-Cuando se descompone un número en factores primos y el resultado es un solo factor elevado a una potencia específica, como ocurre con el número 27, con la tabla de potencias sucesivas, se generan los divisores de dicho número sin olvidar incluir el divisor 1.

27 = 33

Tabla de potencias sucesivas

Divisores de 27

1, 3, 9, 27