Fracciones complejas

Una fracción compleja es una expresión en la que tanto el numerador como el denominador pueden contener fracciones, números enteros, decimales o números mixtos. El objetivo es simplificar esta expresión resolviendo todas las operaciones en el numerador y el denominador hasta obtener una fracción como resultado.

Ejemplo de una fracción compleja

Los tipos principales de fracciones complejas son los siguientes:

1.- Fracción compleja en la que el numerador es un número entero y el denominador es una fracción.

Ejemplo

2.- Fracción compleja en la que el numerador es una fracción y el denominador es un número entero.

Ejemplo

3.- Fracción compleja en la que tanto el numerador como el denominador son fracciones comúnes.

Ejemplo

4.- Fracción compleja en la que tanto el numerador como el denominador pueden incluir operaciones que combinan números enteros y decimales.

Ejemplo

5.- Fracción compleja en la que tanto el numerador como el denominador están compuestos por otras fracciones complejas.

Ejemplo

Para simplificar una fracción compleja, es fundamental determinar el tipo de expresión, ya que esto precisará el método a seguir:

Caso 1. Cuando una fracción compleja consta de una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador, se requiere realizar una división vertical entre las dos fracciones.

Ejemplo

Para simplificar la siguiente expresión, se aplica la conocida ley del sándwich, que consiste en multiplicar los extremos para obtener el numerador y multiplicar los medios para obtener el denominador:

Resultado

3 x 27 x 1
=
67

Caso 2. Si una fracción compleja incluye un número entero y una fracción (ya sea en el numerador o en el denominador), es necesario convertir ese número entero en una fracción. Esto permitirá llevar a cabo la división de fracciones en forma vertical como se vio en el caso 1.

Ejemplos

Para simplificar las expresiones siguientes, el primer paso consiste en convertir el número entero en una fracción. Esto se logra colocando el número entero como numerador y el 1 como denominador. Luego, se procede a resolver la división resultante para obtener la simplificación:

Ejemplo (A)

Resultado

2 x 51 x 3
=
103

Ejemplo (B)

Resultado

3 x 15 x 2
=
310

Caso 3. Cuando una fracción incluye operaciones en el numerador o en el denominador, es necesario resolver cada una de estas operaciones y sustituir los resultados en sus respectivos lugares. De esta manera, se logra simplificar la fracción.

Ejemplo

La fracción siguiente incluye operaciones tanto en el numerador como en el denominador:

Como paso inicial, se deben resolver las operaciones presentes en el numerador y luego sustituir el resultado en la expresión:

Operación

(
2
+
3
)
x
5
=
25

Sustitución

2532

Después, se resuelven las operaciones en el denominador y se sustituye el resultado en la expresión, lo que concluye el proceso de simplificación:

Operación

32
=
9

Sustitución

259

Resultado

(2 + 3) x 532

=
259

Caso 4. Cuando una expresión contiene dos o más fracciones complejas anidadas, el primer paso consiste en convertir cualquier número decimal, mixto o entero en fracción, y luego sustituirlo en el lugar correspondiente. Después, se procede a simplificar de arriba abajo, siguiendo los procesos vistos en ejemplos anteriores.

Ejemplo

La siguiente expresión consta de fracciones complejas anidadas:

En este caso, el proceso inicia transformando los números enteros y decimales en fracciones:

Conversión

2
=
21

0.5
=
12

Sustitución

Luego, se procede a resolver la operación (3x6) que se encuentra en el numerador, y se sustituye el resultado en la expresión:

Operación

3
x
6
=
18

Sustitución

A continuación, se resuelve la adición de las dos fracciones resultantes:

Operación

21
+
185
=
285

Sustitución

Dado que el numerador ha sido simplificado de todas las operaciones, a continuación, se procede a resolver la adición localizada en el denominador de la fracción compleja:

Operación

17
+
24
+
12
=
87

Sustitución

Después de obtener los valores del numerador y del denominador de la fracción compleja, se procede a simplificarla mediante una división vertical:

Operación

28 x 75 x 8
=
19640

Sustitución

Para finalizar, dado que tanto el numerador como el denominador son divisibles por 4, se procede a simplificar los términos de la fracción a su forma más simple, concluyendo así el proceso de simplificación de una fracción compleja.

Resultado

19640
=
4910